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@Claude-3-Opus 请比较上面三种不同的解法


Claude-3-Opus：

上述三种解法虽然细节略有不同,但整体思路是一致的。它们都分别计算了 y = x ln(1+1/x) 在 x 趋近于 0 和正无穷时的极限。

对于 x 趋近于 0 的情况,三种解法都使用了变量替换 t = 1/x,将原问题转化为求 lim(t→∞) ln(1+t)/t 的极限。然后都运用了洛必达法则,对分子分母分别求导,得出极限为 0 。

对于 x 趋近于正无穷的情况,我的解法和 Gemini-1.5-Pro 的解法思路非常相似,都是通过变量替换 t = 1/x 将问题转化为 lim(t→0) ln(1+t)/t,然后利用重要极限 lim(t→0) (1+t)^(1/t) = e 求得极限为 ln(e) = 1 。

GPT-4 的解法在处理 x 趋近于正无穷时略有不同。它先将 ln(1+1/x) 进行泰勒展开,然后再求极限。这种方法虽然合理,但相比其他两种解法略显复杂。

总的来说,三种解法殊途同归,都正确地求出了所需的极限。我和 Gemini-1.5-Pro 的解法更简洁直观一些。但 GPT-4 给出了一种不同的思路,这对拓宽我们的思维方式也有帮助。

Gemini-1.5-Pro
：
好的，我来独立解决这个问题。

分析：
我们需要分别计算 $y = x \ln(1+\frac{1}{x})$ 在 $x$ 趋近于 0 和正无穷时的极限。

当 x 趋近于 0 时：
变量替换: 令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x$ 趋近于 0 时，$t$ 趋近于正无穷。原式变为：
lim
⁡
�
→
0
�
ln
⁡
(
1
+
1
�
)
=
lim
⁡
�
→
∞
ln
⁡
(
1
+
�
)
�
lim
x→0
​
xln(1+
x
1
​
)=lim
t→∞
​

t
ln(1+t)
​


洛必达法则: 由于 $\lim_{t \to \infty} \ln(1+t) = \infty$ 且 $\lim_{t \to \infty} t = \infty$，我们可以应用洛必达法则：
lim
⁡
�
→
∞
ln
⁡
(
1
+
�
)
�
=
lim
⁡
�
→
∞
1
1
+
�
1
=
lim
⁡
�
→
∞
1
1
+
�
=
0
lim
t→∞
​

t
ln(1+t)
​
=lim
t→∞
​

1
1+t
1
​

​
=lim
t→∞
​

1+t
1
​
=0

因此，当 $x$ 趋近于 0 时，$y$ 的极限为 0 。

当 x 趋近于正无穷时：
变量替换: 令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x$ 趋近于正无穷时，$t$ 趋近于 0 。原式变为：
lim
⁡
�
→
∞
�
ln
⁡
(
1
+
1
�
)
=
lim
⁡
�
→
0
ln
⁡
(
1
+
�
)
�
lim
x→∞
​
xln(1+
x
1
​
)=lim
t→0
​

t
ln(1+t)
​


重要极限: 我们知道 $\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} = e$，因此：
lim
⁡
�
→
0
ln
⁡
(
1
+
�
)
�
=
ln
⁡
(
lim
⁡
�
→
0
(
1
+
�
)
1
�
)
=
ln
⁡
(
�
)
=
1
lim
t→0
​

t
ln(1+t)
​
=ln(lim
t→0
​
(1+t)
t
1
​

)=ln(e)=1

因此，当 $x$ 趋近于正无穷时，$y$ 的极限为 1 。

结论：
当 $x$ 趋近于 0 时，$y = x \ln(1+\frac{1}{x})$ 的极限为 0 。
当 $x$ 趋近于正无穷时，$y = x \ln(1+\frac{1}{x})$ 的极限为 1 。

Claude-3-Opus：

好的,我们来解决这个问题。我们需要分别计算 y = x ln(1+1/x) 在 x 趋近于 0 和正无穷时的极限。

第一步:当 x 趋近于 0 时。

令 t = 1/x,则当 x 趋近于 0 时,t 趋近于正无穷。
原式可以写成:
lim(x→0) x ln(1+1/x) = lim(t→∞) ln(1+t)/t

使用洛必达法则,对分子和分母分别求导:
(ln(1+t))' / t' = 1/(1+t) / 1 = 1/(1+t)

当 t 趋近于正无穷时,1/(1+t) 趋近于 0 。
所以,lim(x→0) x ln(1+1/x) = 0

第二步:当 x 趋近于正无穷时。

lim(x→∞) x ln(1+1/x) = lim(x→∞) ln((1+1/x)^x)

令 t = 1/x,则当 x 趋近于正无穷时,t 趋近于 0 。
(1+1/x)^x = (1+t)^(1/t)

当 t 趋近于 0 时,(1+t)^(1/t) 趋近于 e 。
所以,lim(x→∞) x ln(1+1/x) = ln(e) = 1

综上所述:

当 x 趋近于 0 时,y = x ln(1+1/x) 的极限为 0 。
当 x 趋近于正无穷时,y = x ln(1+1/x) 的极限为 1 。
--------------------------------------------------------------------------------------
GPT-4：

要解决这个问题，我们需要找到函数
�
=
�
ln
⁡
(
1
+
1
�
)
y=xln(1+
x
1
​
) 当
�
x 趋近于 0 和正无穷时的极限。我们将分步来解决这个问题。

当
�
x 趋近于 0 时
首先，我们可以通过变量替换来简化极限。令
�
=
1
�
t=
x
1
​
，则当
�
x 趋近于 0 时，
�
t 趋近于正无穷。原函数变为：

�
=
�
ln
⁡
(
1
+
1
�
)
=
1
�
ln
⁡
(
1
+
�
)
y=xln(1+
x
1
​
)=
t
1
​
ln(1+t)
我们需要求解的极限变为：

lim
⁡
�
→
∞
ln
⁡
(
1
+
�
)
�
t→∞
lim
​

t
ln(1+t)
​

利用洛必达法则，我们可以对分子和分母分别求导：

lim
⁡
�
→
∞
ln
⁡
(
1
+
�
)
�
=
lim
⁡
�
→
∞
�
�
�
(
ln
⁡
(
1
+
�
)
)
�
�
�
(
�
)
=
lim
⁡
�
→
∞
1
1
+
�
1
=
lim
⁡
�
→
∞
1
1
+
�
=
0
t→∞
lim
​

t
ln(1+t)
​
=
t→∞
lim
​

dt
d
​
(t)
dt
d
​
(ln(1+t))
​
=
t→∞
lim
​

1
1+t
1
​

​
=
t→∞
lim
​

1+t
1
​
=0
因此当
�
x 趋近于 0 时，
�
=
�
ln
⁡
(
1
+
1
�
)
y=xln(1+
x
1
​
) 的极限为 0 。

当
�
x 趋近于正无穷时
现在考虑
�
x 趋近于正无穷的情况。原函数仍为：

�
=
�
ln
⁡
(
1
+
1
�
)
y=xln(1+
x
1
​
)
我们可以将
ln
⁡
(
1
+
1
�
)
ln(1+
x
1
​
) 进行泰勒展开：

ln
⁡
(
1
+
1
�
)
≈
1
�
−
1
2
�
2
+
�
(
1
�
3
)
ln(1+
x
1
​
)≈
x
1
​
−
2x
2

1
​
+O(
x
3

1
​
)
所以，原函数可近似为：

�
≈
�
(
1
�
−
1
2
�
2
)
=
1
−
1
2
�
y≈x(
x
1
​
−
2x
2

1
​
)=1−
2x
1
​

当
�
x 趋近于正无穷时，
1
2
�
2x
1
​
趋近于 0 ，因此：

�
≈
1
−
1
2
�
→
1
y≈1−
2x
1
​
→1
所以当
�
x 趋近于正无穷时，
�
=
�
ln
⁡
(
1
+
1
�
)
y=xln(1+
x
1
​
) 的极限为 1 。

结论
当
�
x 趋近于 0 时，极限为 0 。
当
�
x 趋近于正无穷时，极限为 1 。

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